Меню

Как построить векторную диаграмму при резонансе токов

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Векторные диаграммы — метод графического расчета напряжений и токов в цепях переменного тока, в которых переменные напряжения и токи символически (условно) изображаются с помощью векторов.

В основе метода лежит тот факт, что всякую величину, меняющуюся по синусоидальному закону (смотрите — синусоидальные колебания), можно определить как проекцию на какое-то выбранное направление вектора, вращающегося вокруг своей начальной точки с угловой скоростью, равной угловой частоте колебаний изображаемой переменной величины.

Поэтому всякое переменное напряжение (или переменный ток), меняющееся по синусоидальному закону, можно изображать с помощью такого вектора, вращающегося с угловой скоростью, равной угловой частоте изображаемого тока, причем длина вектора в определенном масштабе изображает амплитуду напряжения, а угол — начальную фазу этого напряжения.

Если рассмотреть электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных источника переменного тока, резистора, индуктивности и конденсатора, где U – мгновенное значение переменного напряжения, а i – это ток в текущий момент времени, причем U изменяется по синусоидальному (косинусоидальному) закону, то для тока можно записать:

Согласно закону сохранения заряда, в любой момент времени ток в цепи имеет одно и то же значение. Следовательно на каждом элементе будет падать напряжение: UR– на активном сопротивлении, UC – на конденсаторе, и UL – на индуктивности. Согласно второму правилу Кирхгофа, напряжение источника будет равно сумме падений напряжений на элементах цепи, и мы имеем право записать:

Заметим, что согласно закону Ома: I = U/R, и тогда U = I*R. Для активного сопротивления значение R определяется исключительно свойствами проводника, оно не зависит ни от тока, ни от момента времени, следовательно ток совпадает по фазе с напряжением, и можно записать:

А вот конденсатор в цепи переменного тока обладает реактивным емкостным сопротивлением, и напряжение на конденсаторе все время отстает по фазе от тока на Пи /2 , значит пишем:

Катушка, обладающая индуктивностью, в цепи переменного тока выступает реактивным индуктивным сопротивлением, и напряжение на катушке в любой момент времени опережает по фазе ток на Пи/ 2 , следовательно, для катушки запишем:

Можно записать теперь сумму падений напряжений, но в общем виде для приложенного к цепи напряжения можно записать:

Видно, что здесь имеет место некий сдвиг фаз, связанный с реактивной составляющей общего сопротивления цепи при протекании по ней переменного тока.

Поскольку в цепях переменного тока и ток и напряжение изменяются по закону косинуса, причем мгновенные значения отличаются между собой лишь фазой, то физики придумали в математических расчетах рассматривать токи и напряжения в цепях переменного тока как векторы, поскольку тригонометрические функции можно описать через векторы. Итак, запишем напряжения в виде векторов:

Используя метод векторных диаграмм, можно вывести, например, закон Ома для данной последовательной цепи в условиях протекания по ней переменного тока.

Согласно закону сохранения электрического заряда, в любой момент времени ток во всех частях данной цепи одинаков, так отложим же векторы токов, построим векторную диаграмму токов:

Пусть в направлении оси Х будет отложен ток Im – амплитудное значение тока в цепи. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, значит эти векторы будут сонаправленными, отложим их из одной точки.

Напряжение на конденсаторе отстает на Пи/2 от тока, следовательно откладываем его под прямым углом вниз, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении.

Напряжение на катушке опережает на Пи /2 ток, следовательно откладываем его под прямым углом вверх, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении. Допустим, что для нашего примера UL>UC.

Поскольку мы имеем дело с векторным уравнением, сложим векторы напряжений на реактивных элементах, и получим разницу. Она будет для нашего примера (мы приняли что UL>UC) направлена вверх.

Прибавим теперь вектор напряжения на активном сопротивлении, и получим, по правилу векторного сложения, вектор суммарного напряжения. Так как брали максимальные значения, то и получим вектор амплитудного значения общего напряжения.

Так как ток менялся по закону косинуса, то напряжение тоже меняется по закону косинуса, но со сдвигом фаз. Между током и напряжением есть постоянный сдвиг фаз.

Запишем закон Ома для общего сопротивления Z (импеданса):

Из векторных изображений по Теореме Пифагора можем записать:

После элементарных преобразований получим выражение для полного сопротивления Z цепи переменного тока, состоящей из R, C и L:

Тогда получим выражение для закона Ома для цепи переменного тока:

Заметим, что наибольшее значение тока получатся в цепи при резонансе в условиях, когда:

Косинус фи из наших геометрических построений получается:

Источник

6 Резонансные режимы в электрических цепях синусоидального тока

ЛЕКЦИЯ 6

Резонансные режимы в электрических цепях синусоидального тока.

Резонанс напряжений

Режим работы RLC цепи или LCцепи, при условии равенства реактивных сопротивлений XC = XL, когда общее напряжение цепи совпадает по фазе с её током , называется резонансом напряжения.

XC = XL – условие резонанса

RLC цепь LC цепь.

Признаки резонанса напряжения:

1. Напряжение на входе совпадает по фазе с током, т.е. сдвиг фаз между I и U φ = 0, cos φ = 1

2. Ток в цепи будет наибольшим и как следствие Pmax = I 2 maxR тоже максимальна, а реактивная мощность равна нулю.

3. Резонансная частота

Читайте также:  Для измерения силы тока в электрической цепи вы будете использовать

4.

Резонанс можно достигнуть, изменяя L, C или ω.

Векторные диаграммы при резонансе напряжений

LC цепь RLC цепь

Случаи других режимов работы RLC цепи

  1. Если XL>XC т.е.

U опережает I, значит цепь имеет активно-индуктивный характер

напряжение на катушке больше напряжения на конденсаторе.

Источник



Как построить векторную диаграмму при резонансе токов

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)

Для цепи на рис.1 имеет место

; (1)
. (2)

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

2.В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.

3. — случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

При этом, как следует из (1) и (2), .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1 . Тогда , и, соответственно, .

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений LЭ и CЭ .

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); и для цепи на рис. 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

— и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

или с учетом (4) и (5) для можно записать:

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)

Для цепи рис. 4 имеем

; (8)
. (9)

В зависимости от соотношения величин и , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.

— случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов или

При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Например, для цепи на рис. 6 имеем

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления или входной проводимости , определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления или входной реактивной проводимости следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням , т.е. или . Тогда корни уравнения дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения — значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид

Читайте также:  Bn44 00502a уменьшить ток драйвера

Из решения уравнения получаем частоту , соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения — частоту , соответствующую резонансу токов.

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?
  2. Что такое резонанс токов, чем он характеризуется?
  3. В чем физическая сущность резонансных режимов?
  4. На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?
  5. В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту и добротность контура.

  • Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось соотношение ?
  • Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор С3 заменен на резистор R3.

    Источник

    Векторные диаграммы при резонансе напряжений

    LC цепь RLC цепь

    3.7.2. Резонанс токов

    Режим, при котором в цепи, содержащей параллельные ветви с индуктивными и емкостными элементами, ток неразветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением (φ=0), называют резонансом токов.

    Условие резонанса токов:разность реактивных проводимостей параллельных ветвейравна 0

    В1 – реактивная проводимость первой ветви,

    В2 – реактивная проводимость второй ветви

    Признаки резонанса токов:

    1. Реактивные составляющие токов ветвей равны IPC= IPL и находятся в противофазе в случае, когда напряжение на входе чисто активное;
    2. Токи ветвей превышают общий ток цепи, который имеет минимальное значение;
    3. и совпадают по фазе

    RLC – цепь Векторная диаграмма

    LC – цепь Векторная диаграмма

    1. Методические указания

    4.1 Начертить схему с элементами согласно варианту.

    Схема рисунок 1 преобразуем согласно варианту ( Z1RC, Z2R, Z3RL).

    Рисунок 1 Исходная схема

    4.2 Рассмотрим схему рисунок 2, и запишем уравнения по законам Кирхгофа.

    Схема содержит два узла, два независимых контура и три ветви.

    Рисунок 2 Схема с элементами

    Запишем первый закон Кирхгофа для узла а:

    Запишем второй закон Кирхгофа для первого контура:

    Запишем второй закон Кирхгофа для второго контура:

    4.3 Определим эквивалентное сопротивление цепи.

    Свернём схему рис 2.

    По эквивалентному сопротивлению определяется характер цепи и чертится схема замещения.

    Рисунок 3 свернутая схема

    4.4 Определяем токи в ветвях схемы рисунок 2, методом эквивалентных преобразований: зная эквивалентное сопротивление, определяем ток первой ветви .

    Рассчитываем ток в комплексной форме по закону Ома в соответствии со схемой рисунок 3:

    Чтобы определить токи в остальных ветвях, нужно найти напряжение между узлами «ab» рисунок 2:

    4.5 Запишем уравнения баланса мощностей:

    где I1, I2, I3 – действующие значения токов.

    Определение коэффициента мощности

    Расчёт коэффициента мощности проводят, определив активную и полную мощности: P/S = cosφ . Используем рассчитанные мощности, которые найдены при расчёте баланса.

    модуль полной мощности .

    4.6 Рассчитаем напряжения на элементах, используя схему рисунок 2:

    4.7 Построение векторной диаграммы

    Построение векторной диаграммы ведется после полного расчета всей цепи, определения всех токов и напряжений. Построение начинаем с задания осей комплексной плоскости [+1; +j].Выбираются удобные для построения масштабы для токов и напряжений. Сначала строим на комплексной плоскости вектора токов (рисунок 4), в соответствии с первым законом Кирхгофа для схемы 2. Сложения векторов осуществляется по правилу параллелограмма.

    Рисунок 4 векторная диаграмма токов

    Затем строим на комплексной плоскости вектора рассчитанных напряжений проверка по таблице 1 рисунок 5.

    Рисунок 5 Векторная диаграмма напряжений и токов

    4.8 Определение показаний приборов

    Амперметр измеряет ток, проходящий через его обмотку. Он показывает действующее значение тока в ветви, в которую он включен. В схеме (рис.1) амперметр показывает действующее значение (модуль) тока . Вольтметр показывает действующее значение напряжения между двумя точками электрической цепи, к которым он подключен. В рассматриваемом примере (рис.1) вольтметр подключен к точкам а и b.

    Вычисляем напряжение в комплексной форме:

    Ваттметр измеряет активную мощность, которая расходуется на участке цепи, заключенном между точками, к которым подключена обмотка напряжения ваттметра, в нашем примере (рис.1) между точками а и b.

    Активную мощность, измеряемую ваттметром, можно вычислить по формуле

    где — угол между векторами и .

    В этом выражении действующее значение напряжения, на которое подключена обмотка напряжения ваттметра, и действующее значение тока, проходящего через токовую обмотку ваттметра.

    Или рассчитываем полную комплексную мощность

    ваттметр покажет активную мощность Р.

    4.9 Расчёт резонансных цепей

    4.9.1 Добавить в схему замещения элемент для получения резонанса напряжений. Например, схема замещения представляет RL цепь. Тогда необходимо добавить последовательно включённый конденсатор С – элемент. Получается последовательная RLC цепь.

    Рассчитать ток и все напряжения цепи в комплексной форме, при выполнении условия резонанса, построить векторную диаграмму, см.теоретическое введение пункт 3.7.1

    4.9.2 Добавить в схему замещения элемент для получения резонанса токов. Например, схема замещения представляет RL цепь. Тогда необходимо добавить параллельно включённый конденсатор С – элемент.

    Рассчитать проводимости ветвей, токи и напряжения, при выполнении условия резонанса. Построить векторную диаграмму, см.теоретическое введение пункт 3.7.2

    5. Собрать схему в среде MULTISIM. Поставить приборы и измерить токи, напряжение и мощность.

    Сборка схемы в среде Multisim 10.1. На рисунке 6 рабочее окно в среде Multisim. Панель приборов располагается справа.

    Рисунок 6 рабочее окно в среде Multisim

    Разместить на рабочем поле необходимые для схемы элементы. Для этого на верхней панели инструментов слева нажмём кнопку «Place Basic» (см. Рисунок 7 ). Выбрать резистор (внимание! Обозначение резисторов на схеме в Multisim отличается от принятого ГОСТом). Появится окно «Select a Component», где из списка «Family» надо выбрать «Resistor». Под строкой «Component» появятся номинальные значения сопротивлений, выбираем нужное нажатием левой кнопки мыши или же непосредственным введением в графу «Component» необходимого значения. В Multisim используются стандартные приставки системы СИ (см. Таблицу 1)

    Обозначение Multisim (международное) Русское обозначение Русская приставка Порядок
    m м мили 10 −3
    µ (u) мк микро 10 −6
    n н нано 10 −9
    p п пико 10 −12
    f ф фемто 10 −15

    В поле «Symbol» выбираем элемент. После выбора, нажимаем кнопку «OK» и размещаем элемент на поле схемы нажатием левой кнопки мыши. Далее можно продолжать размещение необходимых элементов или нажать кнопку «Close», чтобы закрыть окно «Select a Component». Все элементы можно поворачивать для более удобного и наглядного расположения на рабочем поле. Для этого необходимо навести курсор на элемент и нажать левую кнопку мыши. Появится меню, в котором надо выбрать опцию «90 Clockwise» для поворота на 90° по часовой стрелке или «90 CounterCW» для поворота на 90° против часовой стрелки. Размещённые на поле элементы необходимо соединить проводами. Для этого наводим курсор на клемму одного из элементов, нажимаем левую кнопку мыши. Появляется провод, обозначенный пунктиром, подводим его к клемме второго элемента и снова нажимаем левую кнопку мыши. Проводу так же можно придавать промежуточные изгибы, обозначая их кликом мыши (см. Рисунок 8). Схему необходимо заземлить.

    Подключаем к цепи приборы. Для того, чтобы подсоединить вольтметр, на панели инструментов выбираем «Place Indicator», в списке Family» открывшегося окна выбираем тип элемента «Voltmetr_V».

    Соединив все размещённые элементы, получаем разработанную схему рисунок .

    На панели инструментов выбираем «Place Source». В списке «Family» открывшегося окна выбираем тип элемента «Power Souces», в списке «Component» — элемент «DGND».

    Измерение напряжения и мощности

    6. Контрольные вопросы

    1. Сформулируйте законы Кирхгофа и объясните правила составления системы уравнений по законам Кирхгофа.

    2. Метод эквивалентных преобразований. Объясните последовательность расчета.

    3. Уравнение баланса мощностей для цепи синусоидального тока. Объясните правила составления уравнения баланса мощностей.

    4. Объясните порядок расчета и построения векторной диаграммы для Вашей схемы.

    5. Резонанс напряжений: определение, условие, признаки, векторная диаграмма.

    6. Резонанс токов: определение, условие, признаки, векторная диаграмма.

    7. Объясните, как рассчитать показания приборов (амперметра, вольтметра, ваттметра).

    8. Сформулируйте понятия мгновенного, амплитудного, среднего и действующего значений синусоидального тока.

    9. Напишите выражение для мгновенного значения тока в цепи, состоящей из соединенных последовательно элементов R и L, если к зажимам цепи приложено напряжение .

    10. От каких величин зависит значение угла сдвига фаз между напряжением и током на входе цепи с последовательным соединением R , L , C ?

    11. Как определить по экспериментальным данным при последовательном соединении сопротивлений R , XL и XC значения величин Z , R , X , ZК , RК , L , XC , C ,cosφ , cosφК?

    12. В последовательной RLC цепи установлен режим резонанса напряжений. Сохранится ли резонанс, если:

    а) параллельно конденсатору подключить активное сопротивление;

    б) параллельно катушке индуктивности подключить активное сопротивление;

    в) последовательно включить активное сопротивление?

    13. Как должен изменяться ток I в неразветвленной части цепи при параллельном соединении потребителя и батареи конденсаторов в случае увеличения емкости от С = 0 до С = ∞ , если потребитель представляет собой:

    г) активно-емкостную нагрузку?

    1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники- М.: Высшая школа, 2012г.

    2. Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники. Учебник для ВУЗов – М.,Физматлит, 2007г.

    3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. Учебник для вузов- М.: В. ш, 2000г.

    4. Электротехника и электроника. Учебник для вузов. / Под редакцией

    В.Г.Герасимова. — М.: Энергоатомиздат, 1997г.

    4. Волынский Б.А., Зейн Е.Н., Шатерников В.Е. Электротехника, -М.:

    Вариант Z1 Z2 Z3 Z4 U
    2+j2 5 5+j3 8-j2
    2-j2 -j5 8-j2 4-j4
    3 j5 4-j4 6+j3
    -j5 2+j2 6+j3 2-j5
    j4 2-j2 6 3
    5-j2 4 5+j3 j4
    2-j5 -j6 8-j2 5+j3
    5+j3 3-j4 4-j4 8-j2
    4+j6 4-j3 3 2-j5
    6-j3 5+j5 7 j4
    3-j6 8-j2 2-j5 -j5
    5 2+j4 8-j2 6+j3
    8+j4 5 6+j3 8
    6 5+j3 j4 2
    -j3 j4 6 -j5
    j8 -j5 5+j3 2-j5
    5 5+j3 -j5 4
    6+j3 8-j2 2-j5 5+j3
    4-j4 j4 8 8-j2
    4+j4 5+j3 4-j4 6+j3
    2 j6 2 5
    -j5 5 5-j5 8
    2+j4 -j4 7 j5
    3-j4 3-j4 2 9
    j4 2+j6 7 -j2

    Приложение 3. Образец титульного листа.

    Московский государственный технический университет

    имени Н. Э. Баумана

    Кафедра электротехники и промышленной электроники

    Домашнее задание № 1 часть 2

    по курсу « Электротехника и электроника »

    на тему «Расчет линейных цепей синусоидального тока»

    Источник