Меню

Найти ток после коммутации

Процесс коммутации

Дата публикации: 20 августа 2014 .
Категория: Статьи.

Период коммутации

Период коммутации Tк представляет собой время, в течение которого секция замкнута накоротко щеткой и коммутируется.

В случае простой петлевой обмотки секция, изображенная на рисунке 1, а в виде петли, присоединяется к соседним коллекторным пластинам. При этом значение Tк равно времени перемещения коллектора, вращающегося с окружной скоростью vк, на ширину щетки bщ:

Определение периода коммутации

Рисунок 1. Определение периода коммутации

Обозначим: Dк – диаметр коллектора,

– коллекторное деление и

– коэффициент перекрытия (обычно βк = 2,0 – 4,0, а при сложных петлевых обмотках βк достигает 7,0). Тогда

(n – число оборотов якоря; K – число пластин коллектора) и для простой петлевой обмотки, согласно выражению (1),

(5)

При сложной, m-ходовой петлевой обмотке (рисунок 1, б) между началом и концом секции располагается m – 1 коллекторных пластин. При этом секция замкнута накоротко в течение времени перемещения коллектора на длину дуги bщ – (m – 1) × bк, и, следовательно,

Подставив сюда bщ = βк × bк, число ходов обмотки m = a / p (где а – число пар параллельных ветвей обмотки; p – число пар полюсов) и значение vк из формулы (4), получим

(6)

Выражение (6) действительно также для простой петлевой обмотки (a / p = 1) и, кроме того, как можно показать, для простой и сложной волновых обмоток.

Пусть, например, мы имеем машину с простой петлевой обмоткой и n = 1500 об/мин = 25 об/с, K = 100, βк = 2,5. Тогда по формуле (5) или (6)

Таким образом, процесс коммутации протекает быстро и по отношению к внешней цепи машины является периодическим процессом с частотой порядка 1000 – 3000 Гц.

Уравнения коммутации

Исследуем закономерности коммутации секции для простой петлевой обмотки и примем сначала для простоты, что ширина щетки равна коллекторному делению (рисунок 2).

Последовательные моменты коммутации секции

Рисунок 2. Последовательные моменты коммутации секции

Составим второе уравнение Кирхгофа для коммутируемой секции (рисунок 2):

i × rс + i1 × (rп + rщ1) – i2 × (rп + rщ2) = ∑e , (7)

где i – ток в коммутируемой секции, принимаемый положительным для начального момента коммутации (рисунок 2, а); i1, i2 – токи, протекающие через соединительные проводники («петушки») и коллекторные пластины 1 и 2 к щетке; rс – сопротивление секции; rп – сопротивление «петушка»; rщ1, rщ2 – сопротивление щеточного контакта между пластинами 1 и 2 и щеткой; ∑e – сумма электродвижущих сил, индуктируемых в коммутируемой секции в результате процесса самоиндукции в короткозамкнутой секции и других явлений.

Кроме того, для узловых точек а и б на рисунке 2 можно составить два первых уравнения Кирхгофа:

Процесс коммутации определяется изменением во времени токов i, i1, i2. Эти токи могут быть определены из уравнений (7) и (8), если известны все другие величины. Однако в общем случае решение этих уравнений весьма затруднительно. Действительно, iа, rс и rп можно считать постоянными и заданными величинами. Однако rщ1 и rщ2 являются весьма сложными математическими трудно определимыми функциями токов i1, i2 и времени t. То же можно сказать и о сумме электродвижущих сил ∑e. Поэтому ниже, следуя так называемой классической теории коммутации, находим приближенное решение, которое позволяет выявить основные закономерности процесса коммутации и определить способы ее улучшения.

Подставим i1 и i2 из уравнений (8) и (7). Тогда получим

(9)

Первый член этого выражения представляет собой так называемый основной ток коммутации секции, а второй член – добавочный ток коммутации. Очевидно, что знаменатели в выражении (9) определяют сопротивление короткозамкнутого контура коммутируемой секции. Добавочный ток коммутации поэтому можно рассматривать как ток короткого замыкания секции, определяемый электродвижущей силой ∑e.

Коммутация сопротивлением, прямолинейная коммутация

Рассмотрим сначала случай, когда ∑e = 0. При этом в секции существует только основной ток коммутации. Изменение тока секции i определяется только изменением rщ1 и rщ2, вследствие чего этот случай называется коммутацией сопротивлением.

(10)

В классической теории коммутации принимается, что rщ1 и rщ2 обратно пропорциональны контактным площадям S1 и S2 пластин 1 и 2 со щетками (рисунок 2). При этом предполагается также, что токи i1 и i2 распределяются равномерно по этим площадям.

Пусть начало коммутации соответствует времени t = 0 (рисунок 2, а), а конец t = Tк (рисунок 2, в). Тогда при bщ = bк

(11)

где S – полная контактная площадь коллекторной пластины со щеткой в положении, показанном на рисунке 2, а и в.

Пусть, далее, переходное сопротивление между щеткой и пластиной в предельных положениях в соответствии с рисунком 2, а и в равно rщ. Тогда при указанных выше предположениях

(12)

Подставим теперь значения rщ1 и rщ2 из (12) в (10). Тогда найдем, что

(13)

Зависимость i от t, согласно выражению (13), является линейной (рисунок 3, а). Такую коммутацию поэтому называют прямолинейной.

Прямолинейная и криволинейная коммутация сопротивлением

Рисунок 3. Прямолинейная (а) и криволинейная (б) коммутация сопротивлением

Установим распределение плотности тока под щеткой для этого случая коммутации. Плотности тока под сбегающим и набегающим краями щетки соответственно равны:

На рисунке 3, а для некоторого момента времени t в соответствии с уравнениями (8) показаны также значения токов i1 и i2. При этом из рисунка 3, а следует, что

(14)

Очевидно, что при прямолинейной коммутации (рисунок 3, а) α1 = α2 = const. Поэтому в течение всего периода коммутации также jщ1 = jщ2 = const.

Таким образом, при прямолинейной коммутации плотность тока под всей щеткой на протяжении всего времени коммутации неизменна, как если бы щетки находились на сплошном вращающемся контактном кольце, а не на коллекторе. Такой случай коммутации поэтому является теоретически идеальным.

Можно показать, что и при bщ > bк коммутация простой петлевой обмотки является прямолинейной, если только ∑e = 0 и rс = rп = 0.

Если rс ≠ 0 и rп ≠ 0, то по равенствам (9) и (12) можно установить, что при ∑e = 0 ток i изменяется так, как показано на рисунке 3, б. Следовательно, в общем случае коммутация сопротивлением не является прямолинейной. Однако в обычных условиях отклонение кривой на рисунке 3, б от прямой линии мало, и им можно пренебречь.

Замедленная и ускоренная коммутация

В общем случае, при ∑e ≠ 0, на основной ток коммутации накладывается добавочный ток, определяемый последним членом равенства (9):

или в соответствии с равенствами (12)

(16)
Добавочный ток коммутации
Рисунок 4. Добавочный ток коммутации

Зависимость сопротивления короткозамкнутого контура секции rк от времени согласно выражению (16) изображена на рисунке 4. Если предположить, что ∑e по абсолютной величине постоянна, то характер зависимости iк.д от t при ∑e > 0 и ∑e 0 ток iк.д складывается с основным током коммутации, который можно принять линейным. При этом получается случай так называемой замедленной коммутации (рисунок 5, а), когда изменение тока i в начале коммутации происходит медленно и ускоряется к концу.

Значение тока на сбегающем краю щетки i1 в этом случае сохраняется большим вплоть до конца коммутации, вследствие чего и плотность тока jщ1 под этим краем щетки к концу коммутации становится большой. Размыкание контура короткозамкнутой секции сбегающим краем щетки при этом аналогично выключению или разрыву цепи тока с r и L при помощи рубильника.

По изложенным причинам при замедленной коммутации возникают благоприятные условия для искрения под сбегающим краем щетки.

Читайте также:  Максимальный ток при зарядке акб

Замедленная и ускоренная коммутация

Рисунок 5. Замедленная (а) и ускоренная (б) коммутация

Этому способствует также то обстоятельство, что контакт на краях щетки менее устойчив (из-за наличия зазора между щеткодержателем и щеткой, последняя качается, и края щетки стираются больше и так далее).

При ∑e div > .uk-panel’>» data-uk-grid-margin>

Источник

Закон изменения искомого тока после первой и второй коммутаций.

График изменения искомого тока во времени.

Рисунок 9 – Закон изменения тока

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧЕ 2

Рассчитать операторным методом переходный процесс в цепи индивидуального варианта № 30 (базовые параметры элементов электрической цепи – вариант №7).

Исходные данные варианта:

№ схемы КR КL КC Элементы электрической цепи в схеме рисунка 2 Источник энергии в схеме рисунка 2 Определить ток
30 1,50 1,20 1,00 R11, R12, R21, R32, C1, L2 j(t) i3(t)
№ варианта Jm, A fj, град. R10, Ом R20, Ом R30, Ом RК, Ом C10, мкФ L20, мГн
7 6 150 12 11 25 6 60 400

Замыкается ключ К12 = К.

Схема электрической цепи, в которой происходит коммутация, показана на рисунке 10.

Рисунок 10 – Схема электрической цепи

Параметры элементов схемы электрической цепи (рисунок 10):

C1 = kC Ч C10 = 1,0 × 60 = 60 мкФ = 60× 10 — 6 Ф;

L2 = kL Ч L20 = 1,2 × 400 = 480 мГн = 0,48 Гн;

Решение

Указываем на схеме электрической цепи положительные направления токов ветвей.

1. Рассматриваем установившийся режим электрической цепи до коммутации и находим независимые начальные условия – внутренние источники энергии в эквивалентной операторной схеме.

В установившемся режиме электрической цепи до коммутации токи и напряжения изменяются по синусоидальному закону. Расчёт режима цепи до коммутации выполняем комплексным методом. Расчётная схема в комплексной форме для установившегося режима электрической цепи до коммутации (ключ К разомкнут) приведена на рисунке 11.

Рисунок 11 – Расчётная схема установившегося режима

электрической цепи до коммутации

Угловая частота синусоидального источника энергии:

Реактивные сопротивления индуктивности и ёмкости токам частоты источника энергии:

Комплексное действующее значение тока источника тока:

Комплексные сопротивления ветвей электрической цепи:

По методу двух узлов комплексное действующее значение напряжения между узлами схемы определится:

По закону Ома в комплексной форме имеем:

Законы изменения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в установившемся режиме до коммутации запишутся:

Независимые начальные условия для расчёта переходного процесса (законы коммутации) для электрической цепи (рисунок 10) запишутся:

2. Эквивалентная операторная схема замещения электрической цепи после коммутации (ключ К замкнулся).

На операторной схеме замещения электрической цепи после коммутации указываем изображения токов ветвей, тока источника тока, операторные сопротивления элементов электрической цепи, внутренние источники энергии:

Рисунок 12 – Эквивалентная операторная схема замещения

3. По операторной схеме замещения (рисунок 12) находим изображение искомого тока I3(p).

Для упрощения дальнейших преобразований на операторной схеме замещения цепи (рисунок 12) обозначим (рисунок 13):

Рисунок 13 – Операторная схема замещения цепи

Изображение искомого тока по операторной схеме замещения можно найти методом контурных токов (в случае наличия в схеме источника ЭДС) или методом узловых потенциалов (в случае наличия в схеме источника тока).

При составлении уравнений для изображений по методу контурных токов целесообразно выбирать контуры таким образом, чтобы искомое изображение тока входило только в один контур.

Для полученной схемы замещения найдём выражение для изображения тока с помощью метода двух узлов в операторной форме:

Изображение искомого тока определится на основании закона Ома в операторной форме:

После подстановки изображения тока источника тока, преобразования полученного выражения, получим изображение искомого тока в виде правильной несократимой дроби:

После преобразований и подстановки числовых значений параметров элементов электрической цепи, имеем:

4. По найденному изображению тока с помощью формулы разложения находим оригинал – закон изменения тока во времени:

Корни полинома знаменателя изображения определятся:

Таким образом, для изображения тока имеем одну пару сопряжённых мнимых корней (определяющих установившуюся составляющую тока), и другую пару сопряжённых комплексных корней (определяющих свободную составляющую тока):

Для случая сопряжённых мнимых и комплексных корней формула разложения (22) упрощается (мнимые части выражений оригинала уничтожаются, а действительные – суммируются):

Определяем значения выражения числителя в формуле разложения для изображения тока (20, 21) для найденных корней (23):

Значения выражения производной знаменателя (20, 22) в формуле разложения (24) для найденных корней (23) определятся:

После подстановки найденных значений в формулу разложения тока (24), получаем закон изменения тока ветви во времени:

5. Закон изменения тока ветви во времени запишется:

6. Проверку найденного операторным методом закона изменения тока ветви выполним с помощью классического метода расчёта переходных процессов в электрической цепи.

Исходя из полученного закона изменения тока ветви (25), принуждённая и свободная составляющие тока ветви запишутся:

Классическим методом принуждённая составляющая тока ветви определится из рассмотрения установившегося режима электрической цепи после коммутации. Расчёт этого режима выполняется комплексным методом аналогично расчёту установившегося режима электрической цепи до коммутации:

Закон изменения тока в ветви в установившемся режиме после коммутации (принуждённое значение тока) запишется:

Корни характеристического уравнения электрической цепи после коммутации определятся приравниванием к нулю входного операторного сопротивления цепи:

Корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые, т.е. переходный процесс после коммутации будет периодическим (колебательным). Коэффициент затухания процесса , частота затухающих колебаний .

Свободная составляющая искомого тока запишется:

Постоянные интегрирования определятся решением системы уравнений:

Зависимые начальные условия определятся из системы уравнений для цепи после коммутации (рисунок 10), записанных по законам Кирхгофа для момента времени :

С учётом известных независимых начальных условий (18) имеем систему трёх уравнения с тремя неизвестными. Решив полученную систему уравнений, находим для момента коммутации зависимые начальные условия :

Для нахождения начальных значений первых производных токов имеем систему уравнений:

Для определения постоянных интегрирования для искомого тока ветви имеем систему уравнений:

Решение полученной системы уравнений:

Закон изменения искомого тока, найденный классическим методом расчёта:

Полученный закон изменения тока совпал с операторным методом – расчёты, выполненные двумя методами, верны.

7. Закон изменения тока ветви во времени после коммутации приведён на рисунке 13. Время переходного процесса определится практическим временем затухания свободной составляющей тока:

Рисунок 13 – Закон изменения тока

Дата добавления: 2018-04-15 ; просмотров: 328 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник



Найти ток после коммутации

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

  1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
  2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
  3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
  4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
  5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).
Читайте также:  Одно двухполупериодная схемы выпрямления однофазного тока

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Название закона

Формулировка закона

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Читайте также:  Ток в катушке при включении ключа

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

Для известных значений и из уравнения

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t , определяемая для цепей первого порядка, как:

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Источник

Переходные процессы в электрических цепях

Переходные процессы есть процессы перехода от одного установившегося состояния к другому установившемуся состоянию. Изменения параметров элементов схемы или изменение режима работы самой схемы называются коммутациями.

Непосредственное изменение сигналов тока и напряжения во времени может быть определено классическим методом расчета электрических цепей. Основой этого способа является составление дифференциальных уравнений, описывающих состояние цепи, и их интегрирование, причем количество производных определяется числом элементов-накопителей в заданной цепи.

В соответствии с классическим методом находят частное и общее решения однородных дифференциальных уравнений. Частное решение обусловлено вынужденным воздействием источников e(t) или i(t). Общее решение находят при отсутствии источников. В этом случае токи и напряжения называются свободными и всегда затухают за счет потерь в цепи. В случае комплексных корней процессы в цепи могут быть колебательными за счет собственных колебаний цепи, но также будут убывать во времени при положительной вещественной части.

Законы коммутации

В природе соблюдается принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости.

Потокосцепление скачком измениться не может

Заряд емкости скачком измениться не может

Следовательно, по 1-му закону коммутации в первый момент после коммутации ток в катушке индуктивности скачком измениться не может:

по 2-му закону коммутации в первый момент после коммутации напряжение на емкости скачком измениться не может:

За начало отсчета переходного процесса принимается время, равное нулю, начальные значения тока и напряжения до коммутации определяются из начальных условий.

Анализ переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений на основе законов Кирхгофа.

Включив и отключив источник тока в установке мы увидим, что сила тока со временем изменится и постоянное значение силы тока в контуре с соленоидом установится не мгновенно, а через некоторый промежуток времени. В течение этого промежутка времени в цепи происходит процесс, получивший название переходного. Переходный процесс в цепи с соленоидом происходит за счет явления самоиндукции.

Уравнение цепи имеет вид:

Общее решение уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов.

— ток принужденного режима при или частное решение неоднородного уравнения,

— ток свободного режима или общее решение однородного уравнения (с нулевой правой частью).

В общем случае . Число слагаемых зависит от порядка уравнения или числа накопителей энергии.

Свободные процессы исследуются для определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать.

Принужденный режим определяет новое состояние электрической цепи после окончания переходного процесса.

До коммутации (до включения) ток в цепи отсутствовал . На основании 1-го закона коммутации

ток в индуктивности в первый момент после коммутации равен току до коммутации. В нашем примере ток равен 0.

Ток находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

Свободную составляющую находим из уравнения:

Решение этого уравнения

k — корень характеристического уравнения, называют постоянной времени для цепи, состоящей из соленоида и резистора.

А — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий при t = 0 с использованием законов коммутации, в частном случае первого закона для индуктивности

Учитывая, что

Решение будет иметь вид:

Вид кривых тока и напряжений на элементах цепи

При размыкании цепи с соленоидом, в которой отсутствует разветвление, изменение силы тока протекает более сложным образом. При отключении контакты рубильника расходятся и в цепь последовательно включается сопротивление воздушного промежутка между удаляющимися друг от друга контактами рубильника. Если предположить, что проводимость воздуха весьма мала, то сила тока в такой цепи должна почти мгновенно уменьшиться до нуля, при этом в контуре возникает большая э. д. с. самоиндукции. Она может оказаться во много раз больше, чем э. д. с. источника тока, на которую рассчитана цепь, и это может привести к аварийной ситуации (лампочки в квартире иногда перегорают после выключения цепи с большой индуктивностью).

При размыкании цепи э. д. с. самоиндукции часто создает между расходящимися контактами рубильника настолько сильное электрическое поле, что происходит ионизация воздуха, возможно даже вырывание свободных электронов с поверхности контактов (явление автоэмиссии); в воздушном промежутке возникает искровой или дуговой разряд, разрушающий контакты рубильника.

Таким образом, газовый промежуток между расходящимися контактами рубильника при отключении цепи обладает проводимостью и сила тока в цепи уменьшается до нуля не мгновенно. Сопротивление газового промежутка между контактами выключающего устройства нелинейно; поэтому детальный анализ переходного процесса в этом случае оказывается достаточно сложным.

При размыкании неразветвленной цепи большой мощности со значительной силой тока (сотни и тысячи ампер и более), содержащей большие индуктивности (электродвигатели, трансформаторы), принимают специальные меры против образования дугового разряда между контактами рубильника.

Для гашения дуги применяют масляные выключатели, в которых контакты находятся в жидком масле, имеющем малую проводимость и гасящем дугу, выключатели нагрузки, вакуумные выключатели.

Источник