Меню

Расчет линейной электрической цепи при несинусоидальных напряжениях токах

4.2 Примеры расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях

Примеры расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях

Задача 4.1 К генератору с несинусоидальным периодическим напряжением подключена цепь, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости.

Написать уравнение тока в цепи, если напряжение генератора может быть выражено уравнением

u ( t ) = 40 + 120 sin 1000 t + 60 sin ( 2000 t − π 6 ) + 50 sin ( 5000 t − π 3 ) , В .

Найти действующее значение напряжения на конденсаторе и мощность, расходуемую в цепи, где R = 50 Ом, L = 0,05 Гн, C = 5 мкФ.

Решение В последовательном соединении имеется конденсатор, поэтому ток постоянной составляющей содержать не будет! Амплитуды гармонических составляющих определяются по формуле

I m ( k ) = U m ( k ) Z ( k ) ,

Z ( k ) = R 2 + ( X L ( k ) − X C ( k ) ) 2 = R 2 + ( k ω L − 1 k ω C ) 2 .

Фазовый сдвиг гармоники тока относительно соответствующего напряжения из треугольника сопротивлений

t g φ ( k ) = X ( k ) R = X L ( k ) − X C ( k ) R = k ω L − 1 k ω C R .

Напряжение на конденсаторе дается выражением

U C = U 0 C 2 + [ U C ( 1 ) ] 2 + [ U C ( 2 ) ] 2 + [ U C ( 5 ) ] 2 .

Уравнение тока в цепи имеет вид

i ( t ) = 0,76 sin ( 1000 t + 71,6 ° ) + 1,2 sin ( 2000 t − 30 ° ) − 0,23 sin ( 5000 t + 43,4 ° ) , А .

Расчет дает следующие значения

UC = 143 В; P = 51,8 Вт.

Задача 4.2 На вход схемы (рис. 4.1)

Рис. 4.1 На вход схемы подано напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя

с параметрами R1 = 100 Ом, R2 = 600 Ом, ωL = 3000 Ом; 1/(ωC) = 20 Ом подано напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя с частотой ω (рис. 4.2).

Рис. 4.2 Напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя

Найти входной ток i(t).
Вычислить для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Решение Ряд Фурье исходного напряжения находим по справочной литературе. Ограничимся четырьмя гармониками

u ( t ) = 4 U m π ( 1 2 + 1 3 cos 2 ω t − 1 3 ⋅ 5 cos 4 ω t + 1 5 ⋅ 7 cos 6 ω t ) .

Гармонические составляющие изменяются по косинусоидальному закону с нулевой фазой

U m ( 2 ) = 4 U m 3 π ; U m ( 4 ) = − 4 U m 3 ⋅ 5 π ; U m ( 6 ) = − 4 U m 5 ⋅ 7 π .

Входное комплексное сопротивление k-ой гармоники Z ( k ) определяется из выражения

Z _ ( k ) = R 1 + j k ω L + R 2 ⋅ ( − j 1 k ω C ) R 2 + ( − j 1 k ω C ) = 100 + j k 3000 + − j 600 ⋅ 20 k 600 − j 20 k ( О м ) .

Определим составляющие входного тока.

Рис. 4.3 Схема замещения цепи для определения постоянной составляющей тока

Постоянная составляющая (k = 0) (см. рис. 4.3)

I 0 = U 0 R 1 + R 2 = 4 U m 2 π ⋅ 700 .

Для второй гармоники (k = 2) комплексная амплитуда входного тока

I ? m ( 2 ) = U ? m ( 2 ) Z _ ( 2 ) ,

Z _ ( 2 ) = R 1 + j 2 ω L + R 2 ⋅ ( − j 1 2 ω C ) R 2 + ( − j 1 2 ω C ) = 100 + j 6000 + − j 6000 600 − j 10 ≈ j 6000 О м .

Аналогично, для четвертой гармоники (k = 4)

I ? m ( 4 ) = U ? m ( 4 ) Z _ ( 4 ) ; Z _ ( 4 ) = 100 + j 12000 + − j 3000 600 − j 5 ≈ j 12000 О м .

Для шестой гармоники (k = 6)

I ? m ( 6 ) = U ? m ( 6 ) Z _ ( 6 ) ; Z _ ( 6 ) = 100 + j 18000 + − j 2000 600 − j 20 / 6 ≈ j 18000 О м .

Мгновенное значение входного тока для четырех гармоник дается выражением

i ( t ) = I 0 + i ( 2 ) ( t ) + i ( 4 ) ( t ) + i ( 6 ) ( t ) .

После подстановки выражение примет вид

i ( t ) = 4 U m π ( 1 1,4 + 1 18 cos ( 2 ω t − 90 ° ) − 1 180 cos ( 4 ω t − 90 ° ) + 1 630 cos ( 6 ω t − 90 ° ) ) ⋅ 10 − 3 .

Вычислим для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Действующее значение входного напряжения

U = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + . + [ U ( k ) ] 2 + . ≈ = U 0 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + [ U ( 4 ) ] 2 + [ U ( 6 ) ] 2 = = U 0 2 + [ U m ( 2 ) ] 2 + [ U m ( 4 ) ] 2 + [ U m ( 6 ) ] 2 2 = = 0,6366 2 + 0,4244 2 + 0,0849 2 + 0,0364 2 2 ⋅ U m = 0,707 ⋅ U m .

Для двухполупериодного выпрямления:

k ф = U U с р . в ы п р = U U 0 = 0,707 ⋅ U m 0,637 ⋅ U m = 1,11 ;

k а = U max U = U m 0,707 ⋅ U m = 1,41 ;

k и = U ( 2 ) U = U m ( 2 ) 2 U = 0,3 ⋅ U m 0,707 ⋅ U m = 0,425.

Задача 4.3 Для линейной электрической цепи (рис. 4.4), подключенной к периодическому несинусоидальному напряжению, необходимо:

1. Разложить входное напряжение u(t) в ряд Фурье.

2. Рассчитать мгновенные значения токов ветвей цепи.

3. Определить показания электродинамических амперметра и вольтметра.

4. Найти активную мощность, отдаваемую источником.

5. Вычислить для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

6. Построить кривую выходного напряжения и определить его действующее значение.

Рис. 4.4 Линейная электрическая цепь, подключенная к периодическому несинусоидальному напряжению

f = 300 Гц; ω = 1884 с –1 ; L1 = 0,02 Гн; L2 = 0,002 Гн; R = 90 Ом; C1 = 10 мкФ = 10·10 –6 Ф; C2 = 50 мкФ = 50·10 –6 Ф; Um = 110 В,

Решение Разложим входное напряжение в ряд Фурье и запишем его первые четыре составляющие.

Для нахождения членов ряда Фурье воспользуемся формулами

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n ω t + b n sin n ω t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ( n ω t − φ n ) ,

где среднее значение функции за период или постоянная составляющая, называемая нулевой гармоникой,

A 0 = a 0 2 = 1 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) d t ;

амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих соответственно

a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) cos n ω t d t , b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) sin n ω t d t ;

амплитуда n-й гармоники спектра

A n = a n 2 + b n 2 ;

начальная фаза n-й гармоники

φ n = a r c t g b n a n ;

угловая частота первой гармоники

ω = 2 π f = 2 π T ;

f – циклическая частота первой гармоники спектра или основная частота,

T – период повторения функции f(t),

t – любой произвольно выбранный момент времени (обычно t = 0),

n = 1, 2, 3,… – номер гармоники.

Постоянная составляющая (нулевая гармоника)

U 0 = 1 2 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) d ω t = 1 2 π ∫ 0 π U m sin ω t d ω t = − U m cos ω t 2 π | 0 π = U m π .

Амплитуды синусоидальных составляющих напряжения

U m ( k ) = 1 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) sin k ω t d ω t = 1 π ∫ 0 2 π U m sin ω t ⋅ sin k ω t d ω t = < U m 2 , k = 1 ; 0, k ≠ 1.

Амплитуды косинусоидальных составляющих напряжения

U m ( k ) = 1 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) cos k ω t d ω t = 1 π ∫ 0 2 π U m sin ω t ⋅ cos k ω t d ω t = < 2 U m ( 1 − k 2 ) π , k − ч е т н о е ; 0, k − н е ч е т н о е .

Получили разложение по первым пяти гармоникам входного напряжения

u в х ( t ) ≈ U 0 + u ( 1 ) ( t ) + u ( 2 ) ( t ) + u ( 4 ) ( t ) + u ( 6 ) ( t ) = = U m π + U m 2 sin ω t + ( − 2 U m 3 π ) cos 2 ω t + ( − 2 U m 15 π ) cos 4 ω t + ( − 2 U m 35 π ) cos 6 ω t = = U m π + U m 2 sin ω t + 2 U m 3 π sin ( 2 ω t − π 2 ) + 2 U m 15 π sin ( 4 ω t − π 2 ) + 2 U m 35 π sin ( 6 ω t − π 2 ) .

Комплексное входное сопротивление гармоникам тока

Z _ в х ( 0 ) = ∞ ; I 1 ( 0 ) = I 2 ( 0 ) = I 3 ( 0 ) = 0 ; Z _ в х ( k ) = R + j ( k ω L 1 − 1 k ω C 1 ) + j k ω L 2 ⋅ ( R − j 1 k ω C 2 ) j k ω L 2 + ( R − j 1 k ω C 2 ) ; Z _ в х ( 1 ) = 90,157 − j 11,568 О м = 90,896 ⋅ e − j 7,31 ° О м ; Z _ в х ( 2 ) = 90,631 + j 56,399 О м = 106,747 ⋅ e j 31,89 ° О м ; Z _ в х ( 4 ) = 92,479 + j 152,275 О м = 178,158 ⋅ e j 58,73 ° О м ; Z _ в х ( 6 ) = 95,396 + j 238,728 О м = 257,083 ⋅ e j 68,22 ° О м .

Комплексные амплитуды гармоник входного тока

I ? 1 m ( 1 ) = U ? m ( 1 ) Z _ ( 1 ) = U m 2 Z _ ( 1 ) = 55 90,896 ⋅ e − j 7,31 ° = 0,6051 ⋅ e j 7,31 ° А ; I ? 1 m ( 2 ) = U ? m ( 2 ) Z _ ( 2 ) = 2 U m 3 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 2 ) = 23,343 ⋅ e − j 90 ° 106,747 ⋅ e j 31,89 ° = 0,2187 ⋅ e − j 121,89 ° А ; I ? 1 m ( 4 ) = U ? m ( 4 ) Z _ ( 4 ) = 2 U m 15 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 4 ) = 4,669 ⋅ e − j 90 ° 178,158 ⋅ e j 58,73 ° = 0,0262 ⋅ e − j 148,73 ° А ; I ? 1 m ( 6 ) = U ? m ( 6 ) Z _ ( 6 ) = 2 U m 35 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 6 ) = 2,001 ⋅ e − j 90 ° 257,083 ⋅ e j 68,22 ° = 0,0078 ⋅ e − j 158,22 ° А .

Гармоники тока через катушку индуктивности по формуле разброса токов (делителя токов)

I ? 2 m ( 1 ) = I ? 1 m ( 1 ) ⋅ R − j X C 2 ( 1 ) R + j ( X L 2 ( 1 ) − X C 2 ( 1 ) ) = 0,6075 ⋅ e j 4,93 ° А ; I ? 2 m ( 2 ) = I ? 1 m ( 2 ) ⋅ R − j X C 2 ( 2 ) R + j ( X L 2 ( 2 ) − X C 2 ( 2 ) ) = 0,2190 ⋅ e − j 126,69 ° А ; I ? 2 m ( 4 ) = I ? 1 m ( 4 ) ⋅ R − j X C 2 ( 4 ) R + j ( X L 2 ( 4 ) − X C 2 ( 4 ) ) = 0,0260 ⋅ e − j 158,28 ° А ; I ? 2 m ( 6 ) = I ? 1 m ( 6 ) ⋅ R − j X C 2 ( 6 ) R + j ( X L 2 ( 6 ) − X C 2 ( 6 ) ) = 0,0076 ⋅ e − j 172,39 ° А .

Гармоники тока через емкость по формуле разброса токов (делителя токов)

I ? 3 m ( 1 ) = I ? 1 m ( 1 ) ⋅ j X L 2 ( 1 ) R + j ( X L 2 ( 1 ) − X C 2 ( 1 ) ) = 0,0253 ⋅ e j 101,66 ° А ; I ? 3 m ( 2 ) = I ? 1 m ( 2 ) ⋅ j X L 2 ( 2 ) R + j ( X L 2 ( 2 ) − X C 2 ( 2 ) ) = 0,0183 ⋅ e j 33,32 ° А ; I ? 3 m ( 4 ) = I ? 1 m ( 4 ) ⋅ j X L 2 ( 4 ) R + j ( X L 2 ( 4 ) − X C 2 ( 4 ) ) = 0,0043 ⋅ e − j 66,59 ° А ; I ? 3 m ( 6 ) = I ? 1 m ( 6 ) ⋅ j X L 2 ( 6 ) R + j ( X L 2 ( 6 ) − X C 2 ( 6 ) ) = 0,0019 ⋅ e − j 81,26 ° А .

Мгновенные значения токов ветвей цепи

Читайте также:  Какие действия тока вы знаете как они проявляются

i 1 ( t ) = 0,605 sin ( ω t + 7,3 ° ) + 0,219 sin ( 2 ω t − 121,9 ° ) + + 0,026 sin ( 4 ω t − 148,7 ° ) + 0,0078 sin ( 6 ω t − 158,2 ° ) А ; i 2 ( t ) = 0,608 sin ( ω t + 4,9 ° ) + 0,219 sin ( 2 ω t − 126,7 ° ) + + 0,026 sin ( 4 ω t − 158,3 ° ) + 0,0076 sin ( 6 ω t − 172,4 ° ) А ; i 3 ( t ) = 0,0253 sin ( ω t + 101,7 ° ) + 0,0183 sin ( 2 ω t − 33,3 ° ) + + 0,0043 sin ( 4 ω t − 66,6 ° ) + 0,0019 sin ( 6 ω t − 81,3 ° ) А .

Комплексные амплитуды гармоник напряжений

U ? в ы х m ( 0 ) = U ? L 2 m ( 0 ) = 0 ; U ? в ы х m ( 1 ) = U ? L 2 m ( 1 ) = j X L 2 m ( 1 ) ⋅ I 2 m ( 1 ) = j 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,6075 ⋅ e j 4,93 ° = 2,290 ⋅ e j 94,93 ° В ; U ? в ы х m ( 2 ) = U ? L 2 m ( 2 ) = j X L 2 m ( 2 ) ⋅ I 2 m ( 2 ) = j 2 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,2190 ⋅ e − j 126,69 ° = 1,651 ⋅ e − j 36,69 ° В ; U ? в ы х m ( 4 ) = U ? L 2 m ( 4 ) = j X L 2 m ( 4 ) ⋅ I 2 m ( 4 ) = j 4 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,0260 ⋅ e − j 158,28 ° = 0,392 ⋅ e − j 68,28 ° В ; U ? в ы х m ( 6 ) = U ? L 2 m ( 6 ) = j X L 2 m ( 6 ) ⋅ I 2 m ( 6 ) = j 6 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,0076 ⋅ e − j 172,39 ° = 0,172 ⋅ e − j 82,39 ° В .

Определим показания электродинамических амперметра и вольтметра

I A = [ I 3 m ( 1 ) ] 2 + [ I 3 m ( 2 ) ] 2 + [ I 3 m ( 4 ) ] 2 + [ I 3 m ( 6 ) ] 2 2 = 0,022 А ; U V = [ U L 2 m ( 1 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 2 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 4 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 6 ) ] 2 2 = 2,02 В .

Найдем активную мощность, отдаваемую источником,

P и с т = P и с т ( 0 ) + P и с т ( 1 ) + P и с т ( 2 ) + P и с т ( 4 ) + P и с т ( 6 ) = = U 0 I 1 ( 0 ) + U ( 1 ) I 1 ( 1 ) cos φ ( 1 ) + U ( 2 ) I 1 ( 2 ) cos φ ( 2 ) + U ( 4 ) I 1 ( 4 ) cos φ ( 4 ) + U ( 6 ) I 1 ( 6 ) cos φ ( 6 ) = = 0 + 16,5 + 2,17 + 0,03 + 0,003 = 18,7 В т ,

где сдвиг фаз между током и напряжением гармоник

φ ( k ) = φ U в х ( k ) − φ I 1 ( k ) .

Активная мощность нагрузки

P н а г р = I 1 2 ⋅ R + I 3 2 ⋅ R = = 0,455 2 ⋅ 90 + 0,022 2 ⋅ 90 = 18,7 В т .

где действующие значения токов

I 1 = I 1 ( 0 ) + I 1 ( 1 ) + I 1 ( 2 ) + I 1 ( 4 ) + I 1 ( 6 ) = 0,455 А ; I 3 = I A = 0,022 А .

Численный расчет баланса мощностей

Вычислим для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Действующее значение входного напряжения

U = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + . + [ U ( k ) ] 2 + . ≈ = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + [ U ( 4 ) ] 2 + [ U ( 6 ) ] 2 = = U 0 2 + [ U m ( 1 ) ] 2 + [ U m ( 2 ) ] 2 + [ U m ( 4 ) ] 2 + [ U m ( 6 ) ] 2 2 = = 35,014 2 + 55 2 + 23,343 2 + 4,669 2 + 2,001 2 2 = 54,99 В .

Для однополупериодного выпрямления:

k ф = U U с р . в ы п р = 55,0 35,0 = 1,57 ;

k а = U max U = 110 55 = 2 ;

k и = U ( 1 ) U = U m ( 1 ) 2 U = 38,9 55,0 = 0,707.

И, наконец, по полученному в ходе решения аналитическому выражению для выходного напряжения, построим график его изменения (рис. 4.5)

u в ы х ( t ) = 2,290 sin ( ω t + 94,9 ° ) + 1,651 sin ( 2 ω t − 36,7 ° ) + + 0,392 sin ( 4 ω t − 68,3 ° ) + 0,172 sin ( 6 ω t − 82,4 ° ) В .

Рис. 4.5 График несинусоидального периодического выходного напряжения

Задача 4.4 К генератору с напряжением

u ( t ) = 30 + 120 sin 1000 t + 60 sin ( 2000 t + π 4 ) + 40 sin ( 4000 t + π 6 ) В ,

подключена цепь, собранная по схеме рис. 4.6.

Рис. 4.6 Схема цепи, подключенной к генератору напряжения

Найти показания трех амперметров электродинамической системы.

Параметры элементов цепи: L1 = 40 мГн, C1 = 25 мкФ, R =30 Ом, L2 = 10 мГн, C2 = 6,25 мкФ.

Решение Расчет цепи производим, начиная с постоянной составляющей. Ток постоянной составляющей проходит через катушку L1, активное сопротивление R и катушку L2. Ограничен он только сопротивлением R. Следовательно, постоянная составляющая тока (ток нулевой гармоники)

I 0 = U 0 R = 30 30 = 1 А .

Находим сопротивление элементов цепи первой гармонике

X L 1 ( 1 ) = ω L 1 = 1000 ⋅ 40 ⋅ 10 − 3 = 40 О м ; X C 1 ( 1 ) = 1 ω C 1 = 10 6 1000 ⋅ 25 = 40 О м .

Дальнейшее определение сопротивлений элементов цепи первой гармонике не имеет смысла, так как оказалось, что первый контур настроен на частоту первой гармоники и поэтому его общее сопротивление первой гармонике равно бесконечности (резонанс токов) и напряжение первой гармоники приложено к первому контуру. Ток первой гармоники будет циркулировать только в первом контуре и не пойдет ни через амперметр А1, ни через амперметр А3.

Действующее значение тока первой гармоники через второй амперметр

I 2 ( 1 ) = U 1 ( 1 ) X C 1 ( 1 ) = U ( 1 ) X C 1 ( 1 ) = 120 2 40 = 2,12 А .

Находим теперь сопротивления элементов цепи второй гармонике

X L 1 ( 2 ) = 2 ω L 1 = 2 X L 1 ( 1 ) = 2 ⋅ 40 = 80 О м ; X C 1 ( 2 ) = 1 2 ω C 1 = X C 1 ( 1 ) 2 = 40 2 = 20 О м ; X L 2 ( 2 ) = 2 ω L 2 = 2 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 10 − 3 = 20 О м ; X C 2 ( 2 ) = 1 2 ω C 2 = 10 6 2 ⋅ 1000 ⋅ 6,25 = 80 О м .

Сопротивление всей цепи второй гармонике

Z _ ( 2 ) = Z _ 1 ( 2 ) + R + Z _ 2 ( 2 ) = j X L 1 ( 2 ) ⋅ ( − j X C 1 ( 2 ) ) j X L 1 ( 2 ) + ( − j X C 1 ( 2 ) ) + R + j X L 2 ( 2 ) ⋅ ( − j X C 2 ( 2 ) ) j X L 2 ( 2 ) + ( − j X C 2 ( 2 ) ) = = j 80 ⋅ ( − j 20 ) j 80 + ( − j 20 ) + 30 + j 20 ⋅ ( − j 80 ) j 20 + ( − j 80 ) = − j 27,6 + 30 + j 27,6 = 30 О м

чисто активное, то есть на частоте второй гармоники в цепи имеет место резонанс напряжений.

Неразветвленный ток второй гармоники в цепи

I 1 ( 2 ) = U ( 2 ) Z ( 2 ) = 60 2 30 = 1,41 А .

Падение напряжения на первом контуре

U 1 ( 2 ) = I 1 ( 2 ) ⋅ Z 1 ( 2 ) = 1,41 ⋅ 26,7 = 37,65 В .

Ток второй гармоники через второй амперметр

I 2 ( 2 ) = U 1 ( 2 ) X C 1 ( 2 ) = 37,65 20 = 1,88 А .

Параметры цепи заданы такими, что ток второй гармоники через третий амперметр оказался равным той же величине

U 2 ( 2 ) = I 1 ( 2 ) ⋅ Z 2 ( 2 ) = 1,41 ⋅ 26,7 = 37,65 В ; I 3 ( 2 ) = U 2 ( 2 ) X L 2 ( 2 ) = 37,65 20 = 1,88 А .

Сопротивление цепи четвертой гармонике равно бесконечности, так как второй контур настроен на частоту четвертой гармоники

X L 2 ( 4 ) = 4 X L 2 ( 1 ) = 4 ⋅ 10 = 40 О м ; X C 2 ( 4 ) = X C 2 ( 1 ) 4 = 160 4 = 40 О м .

Поэтому ток четвертой гармоники будет проходить только через третий амперметр второго контура

I 3 ( 4 ) = U 2 ( 4 ) X L 2 ( 4 ) = U ( 4 ) X L 2 ( 4 ) = 40 2 40 = 0,71 А .

Найденные действующие значения токов отдельных гармоник через амперметры и показания этих амперметров, определенные по формуле

I = I 0 2 + [ I ( 1 ) ] 2 + [ I ( 2 ) ] 2 + [ I ( 4 ) ] 2 + .

и выраженные в амперах, приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Действующие значения токов отдельных гармоник через амперметры и показания этих амперметров

Источник

Расчет линейной электрической цепи при несинусоидальных напряжениях токах

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  • в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  • в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1. Максимальное значение — .
  2. Действующее значение — .
  3. Среднее по модулю значение — .
  4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) — .
  5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) — .
  6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) — .
  7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) — .
  8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) — .
Читайте также:  При замыкании цепи идет ток

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

Здесь — постоянная составляющая или нулевая гармоника; — первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

    Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Тогда для активной мощности можно записать

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

Аналогично для реактивной мощности можно записать

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2. Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3. Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?
  4. Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5. Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6. Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .

Источник



Расчет линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении на зажимах цепи

date image2014-02-24
views image7133

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Причины возникновения несинусоидальных токов.

Несинусоидальные напряжения и токи

а) Несинусоидальные токи возникают в линейных электрических цепях под действием несинусоидального напряжения.

б) Несинусоидальные токи возникают при синусоидальном напряжении, если в цепи есть хотя бы один нелинейный элемент.

в) Несинусоидальные токи возникают в линейных электрических цепях, питающихся от двух или более источников синусоидального напряжения разной частоты.

Если к зажимам цепи приложено несинусоидальное, периодически меняющееся напряжение, то его можно записать в виде ряда Фурье. На основании этого расчет такой цепи можно провести методом наложения.

На основании теоремы Фурье, любую периодически меняющуюся функцию можно представить в виде ряда, состоящего из суммы, включающей постоянную составляющую и гармоник (синусоид) различных частот, амплитуд и начальных фаз, при этом частоты кратны основной.

Согласно этому, любое несинусоидальное периодически меняющееся напряжение можно выразить в виде подобного ряда:

Для расчета такой цепи (определение закона изменения тока (i(ωt)), действующего значения напряжения, тока и мощности), источник несинусоидального напряжения заменяется несколькими последовательно соединенными источниками синусоидального напряжения, разных частот и расчет производится методом наложения. Полагают, что каждый из источников вырабатывает в этой цепи свой ток и в результате потечет ток равный сумме всех этих токов.

Определим закон изменения тока:

а) Полагаем, что в цепи действует только источник U(ω=0) , так как в цепи есть конденсатор, то I=0. Если конденсатора нет, то

б) Определяем закон изменения тока для первой гармоники

в) Аналогично определяем закон изменения тока для второй гармоники

Полное сопротивление цепи для каждой гармоники тока различно, так как различны реактивные сопротивления катушки и конденсатора.

Общий ток цепи будет равен сумме токов:

Пример:

Определить закон изменения тока, при следующих данных: R=30 Ом,

L=127 мГн, С=40 мкФ, f=50 Гц,

а) В цепи есть конденсатор, следовательно, I=0.

б) Определяем ток для 1 гармоники:

Следовательно, i1 опережает u1

в) Определяем ток для 2 гармоники:

Следовательно, i2отстает от u2

г) Определяем ток для 3 гармоники:

Следовательно, i3отстает от u3

Источник

Расчет цепей с несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами

Если в линейной цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических ЭДС и токов, то расчет такой цепи распадается на три этапа:

  1. Разложение ЭДС и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (получение дискретного спектра).
  2. Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности.
  3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.

Суммирование составляющих в общем виде часто бывает затруднительно и далеко не всегда необходимо, так как уже на основании дискретного спектра можно судить о форме кривой и об основных величинах, ее характеризующих.

Рассмотрим второй этап, представляющий собой основную часть расчета.

Если, например, несинусоидальная ЭДС представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих, то источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными частотами.

Так, если ЭДС (рис. 12.13, а)

то действие источника такой ЭДС аналогично действию трех последовательно соединенных источников ЭДС (рис. 12.13,6):

Применив принцип наложения и рассмотрев действие каждой из составляющих ЭДС в отдельности, можно найти составляющие токов во всех участках цепи.

Мгновенное значение тока в цепи равно сумме мгновенных значений составляющих токов. Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые ЭДС , соответственно равны , то общий ток

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными ЭДС сводится к решению n задач с синусоидальными ЭДС, где n — число синусоидальных составляющих ЭДС различных частот, и одной задачи с постоянными ЭДС.

При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для k-й гармоники в k раз больше, а емкостное, наоборот, в k раз меньше, чем для первой:

Активное сопротивление также зависит от частоты — увеличивается с ростом последней вследствие поверхностного эффекта. Если расчет ведется для гармоник невысоких частот и относительно малых сечений проводов, можно не учитывать изменения сопротивления с частотой и считать, что при всех частотах активное сопротивление равно сопротивлению при постоянном токе.

Если источник несинусоидалыюй ЭДС подключен непосредственно к емкостному элементу, то для k-й гармоники тока

где

Чем больше k, тем меньше значение емкостного сопротивления для этой гармоники. Следовательно, высшая гармоника ЭДС или напряжения, даже если ее амплитуда составляет незначительную долю амплитуды основной гармоники, может вызвать ток в емкости, соизмеримый с током основной гармоники и даже его превышающий. Поэтому и при напряжении, близком к синусоидальному, ток в емкости может быть резко несинусоидален из-за высших гармоник.

При подключении источника синусоидальной ЭДС к индуктивному элементу ток k-й гармоники

где

С увеличением порядка k-й гармоники индуктивное сопротивление для этой гармоники возрастает. Поэтому в токе индуктивного элемента высшие гармоники всегда имеют относительно меньшее значение, чем в напряжении; даже при резко несинусоидальной кривой напряжения форма кривой тока нередко приближается к синусоиде.

Если задача поставлена иначе, заданы не ЭДС, а токи несинусоидальных источников, то принцип решения задачи остается тем же.

Источник несинусоидального тока всегда можно представить в виде параллельного соединения ряда источников, синусоидальный ток каждого из которых равен соответствующей составляющей несинусоидального тока. Так, если к узлам ветви или выводам двухполюсника подводится несинусоидальный ток (рис. 12.14, а)

то источник такого тока действует подобно параллельному соединению трех источников (рис. 12.14,6):

Рассчитав напряжения на сопротивлении от каждой из составляющих тока, легко найти мгновенное значение полного напряжения как сумму отдельных составляющих.

При расчете каждой из гармоник можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимы суммирование векторов и сложение комплексных напряжении и токов различных гармоник. Действительно, при определении мгновенных значений тока по комплексному необходимо вектор, изображающий комплексную амплитуду каждой гармоники, вращать со своей угловой скоростью и строить зависимость от времени его проекции на ось мнимых величин.

Так как для различных гармоник частоты вращения различны, то геометрическое суммирование векторов, изображающих комплексные амплитуды, дает возможность определить мгновенное значение их суммы только в момент времени t = 0 и в общем случае не имеет смысла. При вычерчивании кривых отдельных гармоник следует всегда иметь в виду, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Следовательно, если по оси абсцисс отложено , то, соблюдая один и тот же масштаб, вместо углов надо откладывать углы .

В схеме высокочастотного лампового генератора

В схеме высокочастотного лампового генератора, изображенного на рис. 12.15, а, известны анодный ток i электронной лампы Л, и ЭДС источника питания. Этот ток при заданных напряжениях на сетке и аноде электронной лампы (в амперах)

Найти ток в источнике питания и гок в конденсаторе .

Решение. Для определения токов и напряжений необходимо независимо рассчитать три схемы, изображенные на рис. 12.15, б -г. На схемах показаны ЭДС , токи источников различных частот и значения параметров.

Рассчитав токи в каждой из схем, получаем округленно для постоянной составляющей , для 1-й гармоники , для 2-й гармоники .

Просуммировав мгновенные значения различных гармонических составляющих, получим

На рис. 12.16 построен график составляющих и результирующего тока . Так как по оси абсцисс отложено , то при построении синусоиды 2-й гармоники начальная фаза (90°) разделена на номер гармоники .

Определить напряжения

Определить напряжения u» на вторичных выводах четырехполюсника в режиме холостого хода при известном напряжении на первичных выводах u’ (рис. 12.17).

Для четырехполюсника теоретически или экспериментально получена зависимость передаточной функции от частоты

где — модуль и аргумент комплексной функции .

Напряжение на первичных выводах представляет собой сигнал, модулированный по амплитуде, спектр которого задан уравнением (12.28).

Решение. Напряжение u’ на первичных выводах четырехполюсника согласно (12.28)

причем , и будем искать напряжение на вторичных выводах в виде суммы

где .

Для рассматриваемого четырехполюсника при холостом ходе

где .

На рис. 12.18, а, б построены графики .

Чтобы рассматриваемый сигнал проходил через четырехполюсник без существенных искажений, т. е. u» мало отличалось от u’, необходимо выбрать параметры четырехполюсника, удовлетворяющие условию .

Как следует из рис. 12.10 и 12.18, при этом условии напряжения на входе и выходе четырехполюсника практически не будут отличаться, так как для всех трех составляющих сигнала .

Источник