Расчет линейных электрических цепей с несинусоидальными токами

Расчет цепей несинусоидального тока

Электрические цепи несинусоидального тока

Несинусоидальные токи и их разложение

В электрической цепи несинусоидальные токи могут возникнуть по двум причинам:

1. сама электрическая цепь является линейной, но на цепь действует несинусоидальное напряжение,

2. воздействующее на цепь напряжение является синусоидальным, но электрическая цепь содержит нелинейные элементы.

Может иметь место также наличие обеих указанных причин. В данной главе рассматриваются цепи только по первому пункту. При этом считается, что несинусоидальные напряжения являются периодическими.

Генераторы периодических импульсов применяются в различных устройствах радиотехники, автоматики, телемеханики. Форма импульсов может быть различной: пилообразной, ступенчатой, прямоугольной (рис. 1).

Рисунок 1. Формы импульсов

Явления, происходящие в линейной электрической цепи при периодических, но несинусоидальных напряжениях, проще всего поддаются исследованию, если кривую напряжения разложить в тригонометрический ряд Фурье:

Первый член ряда А0 называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член ряда

— основной или первой гармоникой, а все остальные члены вида

при к>1 носят название высших гармоник.

Если в выражении (3.1) раскрыть синус суммы, то можно перейти и к другой форме записи ряда:

Если функция симметрична относительно оси абсцисс, то ряд не содержит постоянной составляющей. Если же функция симметрична относительно оси ординат, то ряд не содержит синусов. Функция симметричная относительно начала координат, которая не содержит косинусов.

Некоторые примеры разложения в ряд приведены в табл. 1, а также они имеются в справочной литературе

Таблица 1. Разложение в ряд Фурье

Расчет цепей несинусоидального тока

Расчет цепи производится для каждой гармоники по модельности. Цепь рассчитывается столько раз, сколько гармоник содержит воздействующее на цепь напряжение. При этом необходимо учитывать ряд особенностей.

Надо иметь в виду, что сопротивление индуктивного элемента возрастает с ростом номера гармоники

а емкостного элемента напротив уменьшается:

Также надо учитывать, что постоянная составляющая тока не проходит через емкость, а индуктивность не представляет для нее сопротивление.

Кроме того, следует не забывать возможные резонансные явления не только на основной гармонике, но и на высших гармониках.

Векторные диаграммы можно строить для каждой гармоники отдельно.

Согласно принципу наложения ток любой ветви может состоять из суммы отдельных слагаемых (нулевой, основной и высших гармоник):

Действующие значение полного тока ветви может быть определено через действующее значение токов отдельных гармоник:

Активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник:

Ниже приводится в общем виде пример расчета цепей несинусоидального тока. Все токи, напряжения, сопротивления будут иметь два индекса: первая цифра означает номер ветви, а вторая цифра – номер гармоники. Входное напряжение:

• Постоянная составляющая

Рисунок 2. Схема цепи

• Основная гармоника:

Рисунок 2. Схема цепи

• Основная гармоника:

• Третья гармоника:

Источник

Методика расчета цепей несинусоидального тока

Рассмотрим общую методику расчета линейной электрической цепи, к которой приложено несинусоидальном напряжении вида

.

Согласно принципу наложения расчет можно выполнить для каждой гармоники в отдельности. Расчет линейной электрической цепи с несинусоидальными источниками разделяют на несколько цепей с постоянными и гармоническими источниками (рис. 7.10). Расчет токов и напряжений в каждой линейной электрической цепи может быть произведен известными ранее методами. Это методы расчета цепей постоянного (для нулевой гармоники) и синусоидального (для остальных гармоник) токов. После определения токов и напряжений для всех гармоник в отдельности результирующий ток находят согласно принципу наложения путем суммирования частичных токов и напряжений:

Рассмотрим методику расчета линейных цепей несинусоидального тока на примере цепи с последовательным соединением активного сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора (рис 7.11,а), к которой приложено напряжение

.

Сначала проведем расчет для постоянной составляющей (рис. 7.11б). В этом случае .

Расчет -й гармоники выполним символическим методом (рис. 7.11,в):

.

По соотношениям построены амплитудно-частотная (рис. 7.12,а) и фазо-частотная (рис. 7.12,б) характеристики.

При частоте, определяемой из равенства , в цепи резонанс напряжений (на графике резонансу соответствует ).

После перехода к мгновенным значениям получаем

.

Результирующий ток

Пример 7.6

К цепи (рис. 7.13), состоящей из соединенных последовательно активного сопротивления R, катушки и конденсатора C приложено напряжение Опреде-

представляется отдельным источником (рис. 7.14,а).

Сопротивления элементов для каждого режима определяются частотой соответствующего источника, т.е. ; . Зависимостью параметра от частоты обычно пренебрегают.

1. Постоянная составляющая (рис. 7.14,б)

Конденсатор соответствует разрыву цепи постоянного тока , воспринимая на себя приложенное напряжение источника .

2. Расчет первой гармоники (рис. 7.14,в)

Комплекс амплитудного значения приложенного напряжения

.

Комплексное сопротивление цепи

Ом.

Комплекс амплитудного значения тока

А.

Для первой гармоники наблюдается резонанс напряжений. После перехода к мгновенным значениям получаем

А.

3. Расчет второй гармоники (рис. 7.14,г)

Вторая гармоника приложенного напряжения

комплекс ее амплитудного значения

Комплексное сопротивление цепи

,

где

Комплекс амплитудного значения тока

.

После перехода к мгновенным значениям получаем

.

4. Мгновенное значение тока равно сумме его гармонических составляющих:

.

Пример 7.7

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника (рис. 7.15) составляют:

.

Реактивную мощность несинусоидального режима определяют, как сумму реактивных мощностей отдельных гармоник:

Вар.

Постоянные составляющие не создают реактивной мощности. Третья гармоника напряжения не создает активной и реактивной мощностей из-за отсутствия третьей гармоники в токе .

Однако, эти составляющие влияют на величину полной мощности через действующие значения напряжения и тока. Если формы кривых и одинаковы (цепь чисто активная), то мощность искажения . Чем больше отличаются по форме друг от друга эти функции, тем больше мощность искажения. В рассматриваемом примере:

Пример 7.8

Для схемы (рис 7.16) известен ток А. Сопротивления элементов цепи: Ом; Ом; Ом. Определить

По принципу наложения рассчитывают два режима цепи (см. рис. 7.17,б), показанные на рис. 7.17,в,г.

1. Постоянная составляющая (рис. 7.17,в)

Сопротивление катушки индуктивности постоянному току равно нулю (в схеме короткозамкнутая ветвь). Сопротивление конденсатора – бесконечность (в схеме ветвь разорвана). Таким образом,

2. Первая гармоника (рис. 7.17,г)

Комплекс амплитудного значения тока

Комплексное входное сопротивление

Ом,

где

Комплексная амплитуда и мгновенное значение напряжения источника:

Действующие значения напряжения и тока:

Активная мощность источника

Вт.

3. Суммарное входное напряжение

В.

Активная мощность источника Вт.

Пример 7.9

В схеме (рис. 7.18,а) нагрузка включена через линию передач, которая учитывается только активным сопротивлением . При входном напряжении В. Выполнить компенсацию с помощью конденсатора так, чтобы реактивная составляющая тока нагрузки по первой гармонике полностью компенсировалась. Рассчитать потери в линии и реактивную мощность до и после компенсации.

Решение

1. Расчет первой гармоники

Из условия резонанса токов по первой гармонике находим емкостное сопротивление =200 Ом.

Ток до компенсации:

А.

Ток после компенсации:

А.

Потери в сопротивлении до компенсации: =13,2 кВт.

Потери в сопротивлении после компенсации: =6,6 кВт.

2. Расчет третьей гармоники

Ток до компенсации:

А.

Ток после компенсации:

Потери до компенсации в : =0,3 кВт.

Потери после компенсации в : =4,5 кВт.

3. Общие потери от действия двух гармоник:

до компенсации 13,2+0,3=13,5 кВт;

после компенсации 6,6+4,5=11,1 кВт.

до компенсации 140 кВАр;

после компенсации =37,8 кВАр.

Из проведенных расчетов можно сделать следующий вывод: компенсация на первой гармонике приводит к сокращению потерь только для первой гармоники. Для третьей гармоники, наоборот, нескомпенсированная реактивная мощность увеличивается. Это можно видеть из векторных диаграмм (рис. 7.18,б,в) для первой и третьей гармоник соответственно.

К цепи (рис. 7.19) приложено несинусоидальное напряжение В. Сопротивления элементов цепи: ; Определить показания приборов электромагнитной и магнитоэлектрической системы.

Решение

1. Расчет для постоянной составляющей (цепи постоянного тока):

Приборы магнитоэлектрической системы показывают постоянную составляющую:

2. Расчет первой гармоники (расчет цепи синусоидального тока) проводим символическим методом:

Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения:

В;

В; В;

А; А.

Источник



Расчет цепей с несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами

Если в линейной цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических ЭДС и токов, то расчет такой цепи распадается на три этапа:

1. Разложение ЭДС и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (получение дискретного спектра).
2. Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности.
3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.

Суммирование составляющих в общем виде часто бывает затруднительно и далеко не всегда необходимо, так как уже на основании дискретного спектра можно судить о форме кривой и об основных величинах, ее характеризующих.

Рассмотрим второй этап, представляющий собой основную часть расчета.

Если, например, несинусоидальная ЭДС представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих, то источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными частотами.

Так, если ЭДС (рис. 12.13, а)

то действие источника такой ЭДС аналогично действию трех последовательно соединенных источников ЭДС (рис. 12.13,6):

Применив принцип наложения и рассмотрев действие каждой из составляющих ЭДС в отдельности, можно найти составляющие токов во всех участках цепи.

Мгновенное значение тока в цепи равно сумме мгновенных значений составляющих токов. Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые ЭДС , соответственно равны , то общий ток

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными ЭДС сводится к решению n задач с синусоидальными ЭДС, где n — число синусоидальных составляющих ЭДС различных частот, и одной задачи с постоянными ЭДС.

При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для k-й гармоники в k раз больше, а емкостное, наоборот, в k раз меньше, чем для первой:

Активное сопротивление также зависит от частоты — увеличивается с ростом последней вследствие поверхностного эффекта. Если расчет ведется для гармоник невысоких частот и относительно малых сечений проводов, можно не учитывать изменения сопротивления с частотой и считать, что при всех частотах активное сопротивление равно сопротивлению при постоянном токе.

Если источник несинусоидалыюй ЭДС подключен непосредственно к емкостному элементу, то для k-й гармоники тока

где

Чем больше k, тем меньше значение емкостного сопротивления для этой гармоники. Следовательно, высшая гармоника ЭДС или напряжения, даже если ее амплитуда составляет незначительную долю амплитуды основной гармоники, может вызвать ток в емкости, соизмеримый с током основной гармоники и даже его превышающий. Поэтому и при напряжении, близком к синусоидальному, ток в емкости может быть резко несинусоидален из-за высших гармоник.

При подключении источника синусоидальной ЭДС к индуктивному элементу ток k-й гармоники

где

С увеличением порядка k-й гармоники индуктивное сопротивление для этой гармоники возрастает. Поэтому в токе индуктивного элемента высшие гармоники всегда имеют относительно меньшее значение, чем в напряжении; даже при резко несинусоидальной кривой напряжения форма кривой тока нередко приближается к синусоиде.

Если задача поставлена иначе, заданы не ЭДС, а токи несинусоидальных источников, то принцип решения задачи остается тем же.

Источник несинусоидального тока всегда можно представить в виде параллельного соединения ряда источников, синусоидальный ток каждого из которых равен соответствующей составляющей несинусоидального тока. Так, если к узлам ветви или выводам двухполюсника подводится несинусоидальный ток (рис. 12.14, а)

то источник такого тока действует подобно параллельному соединению трех источников (рис. 12.14,6):

Рассчитав напряжения на сопротивлении от каждой из составляющих тока, легко найти мгновенное значение полного напряжения как сумму отдельных составляющих.

При расчете каждой из гармоник можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимы суммирование векторов и сложение комплексных напряжении и токов различных гармоник. Действительно, при определении мгновенных значений тока по комплексному необходимо вектор, изображающий комплексную амплитуду каждой гармоники, вращать со своей угловой скоростью и строить зависимость от времени его проекции на ось мнимых величин.

Так как для различных гармоник частоты вращения различны, то геометрическое суммирование векторов, изображающих комплексные амплитуды, дает возможность определить мгновенное значение их суммы только в момент времени t = 0 и в общем случае не имеет смысла. При вычерчивании кривых отдельных гармоник следует всегда иметь в виду, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Следовательно, если по оси абсцисс отложено , то, соблюдая один и тот же масштаб, вместо углов надо откладывать углы .

В схеме высокочастотного лампового генератора

В схеме высокочастотного лампового генератора, изображенного на рис. 12.15, а, известны анодный ток i электронной лампы Л, и ЭДС источника питания. Этот ток при заданных напряжениях на сетке и аноде электронной лампы (в амперах)

Найти ток в источнике питания и гок в конденсаторе .

Решение. Для определения токов и напряжений необходимо независимо рассчитать три схемы, изображенные на рис. 12.15, б -г. На схемах показаны ЭДС , токи источников различных частот и значения параметров.

Рассчитав токи в каждой из схем, получаем округленно для постоянной составляющей , для 1-й гармоники , для 2-й гармоники .

Просуммировав мгновенные значения различных гармонических составляющих, получим

На рис. 12.16 построен график составляющих и результирующего тока . Так как по оси абсцисс отложено , то при построении синусоиды 2-й гармоники начальная фаза (90°) разделена на номер гармоники .

Определить напряжения

Определить напряжения u» на вторичных выводах четырехполюсника в режиме холостого хода при известном напряжении на первичных выводах u’ (рис. 12.17).

Для четырехполюсника теоретически или экспериментально получена зависимость передаточной функции от частоты

где — модуль и аргумент комплексной функции .

Напряжение на первичных выводах представляет собой сигнал, модулированный по амплитуде, спектр которого задан уравнением (12.28).

Решение. Напряжение u’ на первичных выводах четырехполюсника согласно (12.28)

причем , и будем искать напряжение на вторичных выводах в виде суммы

где .

Для рассматриваемого четырехполюсника при холостом ходе

где .

На рис. 12.18, а, б построены графики .

Чтобы рассматриваемый сигнал проходил через четырехполюсник без существенных искажений, т. е. u» мало отличалось от u’, необходимо выбрать параметры четырехполюсника, удовлетворяющие условию .

Как следует из рис. 12.10 и 12.18, при этом условии напряжения на входе и выходе четырехполюсника практически не будут отличаться, так как для всех трех составляющих сигнала .

Источник

Расчет линейных электрических цепей с несинусоидальными токами

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

• в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
• в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

1. Максимальное значение — .
2. Действующее значение — .
3. Среднее по модулю значение — .
4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) — .
5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) — .
6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) — .
7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) — .
8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) — .

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

Здесь — постоянная составляющая или нулевая гармоника; — первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Тогда для активной мощности можно записать

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

Аналогично для реактивной мощности можно записать

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

1. Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
2. Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
3. Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?
4. Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
5. Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
6. Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .

Источник